Xinzhi Zhang, ricercatore senior del gruppo Machine Learning and Optimization di Microsoft Research, e il matematico Zhao Song hanno completato una dimostrazione della congettura di Kannan–Lovász–Simonovits, conosciuta come congettura KLS, uno dei problemi aperti più rilevanti della geometria convessa e della probabilità in dimensione elevata. Formulata nel 1995, la congettura riguarda le proprietà geometriche delle distribuzioni di probabilità log-concave e la possibilità di stabilire limiti universali indipendenti dal numero delle dimensioni dello spazio considerato. Il risultato è contenuto nel lavoro di 140 pagine intitolato An O(1) Bound for the KLS Constant, pubblicato inizialmente su arXiv il 1° ottobre 2026 e aggiornato il 4 ottobre. La dimostrazione è stata sviluppata attraverso un processo di ricerca matematica guidato dagli autori e supportato da numerosi agenti di intelligenza artificiale, utilizzati per esplorare ipotesi alternative, sviluppare derivazioni complesse e verificare passaggi intermedi. Il contributo scientifico consiste nell’aver dimostrato l’esistenza di una costante universale che limita la costante KLS, insieme a un limite universale sulla costante di Poincaré per ogni misura di probabilità isotropa e log-concava.
La congettura KLS descrive, in termini geometrici, una relazione fra il modo in cui una distribuzione di probabilità può essere suddivisa mediante un iperpiano e la migliore suddivisione ottenibile attraverso superfici di forma arbitraria. Essa stabilisce che, per una vasta classe di distribuzioni ad alta dimensionalità, la qualità della migliore separazione mediante un iperpiano rimane confrontabile con quella della separazione ottimale, entro un fattore costante che non dipende dalla dimensione. Una formulazione equivalente richiede che la costante di Cheeger delle misure isotrope log-concave abbia un limite inferiore universale strettamente positivo. Il problema è strettamente collegato all’efficienza dei processi di campionamento, alle disuguaglianze funzionali e alle proprietà di mescolamento delle passeggiate aleatorie utilizzate per esplorare distribuzioni complesse. Prima della nuova dimostrazione, il migliore limite noto era stato ottenuto da Brayden Letwin nel luglio 2026 e stabiliva una dipendenza dalla dimensione proporzionale alla quarta radice del logaritmo di n. Tale risultato rappresentava un miglioramento matematico significativo, ma non eliminava completamente la crescita del limite con l’aumento delle dimensioni.
Il processo di ricerca seguito da Song e Zhang è partito proprio dal tentativo di migliorare il risultato di Letwin. Attraverso una procedura di esplorazione parallela supportata da agenti AI, sono state esaminate oltre cento possibili strategie dimostrative, molte delle quali richiedevano calcoli articolati con tensori di ordine superiore. Gli autori hanno progressivamente individuato un nuovo criterio matematico che consentiva di rafforzare i limiti disponibili. Il passaggio successivo è consistito nell’applicare ricorsivamente il criterio ottenuto, utilizzando ogni miglioramento come punto di partenza per una nuova iterazione. Questa tecnica aveva inizialmente permesso di ridurre la dipendenza dalla dimensione a una funzione logaritmica iterata, caratterizzata da una crescita estremamente lenta ma ancora non costante. La svolta definitiva è arrivata quando i ricercatori hanno esteso la ricorsione all’intero procedimento di raffinamento, dimostrando che gli errori introdotti nei passaggi successivi si riducevano abbastanza rapidamente da mantenere limitata la loro somma complessiva. L’argomentazione ha così eliminato la dipendenza da n, ottenendo il limite universale richiesto dalla congettura.
Gli agenti di intelligenza artificiale hanno svolto un ruolo operativo nella generazione e nell’analisi delle strategie candidate, nell’esecuzione di derivazioni matematiche, nella preparazione del manoscritto e nei controlli interni sulla correttezza dei passaggi. La metodologia adottata prevedeva cicli successivi di esplorazione e selezione nei quali più agenti sviluppavano contemporaneamente varianti della stessa idea, mentre i ricercatori esaminavano i risultati intermedi, eliminavano le direzioni improduttive e utilizzavano quelle promettenti per orientare il ciclo successivo. La scelta delle ipotesi matematiche, la formulazione dei criteri decisivi e la costruzione della dimostrazione finale sono rimaste sotto la responsabilità degli autori. Un esperimento parallelo, condotto affidando lo stesso problema a diversi modelli AI senza una guida umana strutturata e utilizzando un budget complessivo di token comparabile, non ha raggiunto il risultato. La differenza fra i due percorsi mette in evidenza il ruolo della selezione matematica e del controllo umano nel procedimento che ha portato alla dimostrazione.
Il risultato è stato accompagnato da sviluppi indipendenti particolarmente significativi. Il 4 ottobre 2026 Pierre Bizeul, Boaz Klartag e Joseph Lehec hanno pubblicato una dimostrazione alternativa di 32 pagine, basata anche sul nuovo criterio relativo alle derivate di ordine superiore delle medie sottoposte a trasformazioni di inclinazione introdotto da Song e Zhang. Il 6 ottobre Krishnakumar Balasubramanian e Shiva Kasiviswanathan hanno presentato un’ulteriore dimostrazione, successivamente aggiornata l’8 ottobre, che stabilisce attraverso un metodo variazionale deterministico un limite esplicito pari a 25 per la costante di Poincaré delle misure isotrope log-concave. Alla verifica matematica tradizionale si è aggiunta una formalizzazione in Lean 4, denominata KLS500, che certifica un limite indipendente dalla dimensione pari a 500. Il progetto ha ricostruito 1.710 moduli matematici con verifica al livello del kernel e livello di fiducia zero, superando anche il controllo della formulazione esatta della congettura KLS definita da OpenAI. Il codice della formalizzazione è distribuito con licenza Apache 2.0. Song e Zhang hanno inoltre ridotto la lunghezza della propria dimostrazione e verificato in Lean la versione semplificata, prevedendone la pubblicazione dopo la revisione finale. La disponibilità di più dimostrazioni indipendenti e di verifiche formali permette di considerare come risultati incondizionati diverse proprietà matematiche che in precedenza venivano formulate assumendo la validità della congettura KLS.
Questo articolo è stato redatto con il supporto di strumenti di intelligenza artificiale (AI)